「集合から位相へ」じゃなくて「位相から集合へ」でもいい

 

「集合から位相へ」じゃなくて「位相から集合へ」でもいい

 

数学を習うとき、たいていは

集合 → 関数 → 位相 → …

という順番で進みます。
でもこれは“自然法則”ではなく、たぶん **教育の物流（ロジスティクス）**です。📦

位相はそもそも、

• 距離や角度みたいな細部を捨てて
• 連続性やつながり方という骨格だけを取り出す

ための言語です。

そして面白いことに、この言語は「集合の上に乗せる拡張」でもある一方で、逆に

位相的な考え方を先に置いて、集合を“後から”回収する

という道も成立します。

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言いたい骨格はこうです：

集合論→位相の順番は“教科書の都合”であって、
位相（= 近さ・連続・貼り合わせ）→集合という出発も、ちゃんと可能。
しかも「集合論を再構築する」道も「再構築しない」道も両方ある。

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1. そもそも「集合」を先に置く必然はない

集合論の「要素 」は便利ですが、世界の見方としてはかなり強い前提です。

• すべてを点（要素）の寄せ集めとして扱う
• その点を1個ずつ追跡して全体を理解する

でも位相論がやりたいのはむしろ逆で、

• “周り”の情報（近傍・開集合）
• 重なり
• 貼り合わせ
• 局所から全体が立ち上がる仕組み

みたいな、点を名簿管理しなくても見える構造です。

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2. 位相を出発点にして「集合」を回収する道（する派）

ここからがあなたの主張の気持ちよさポイントです😄

2-1) 点を後から作る：開集合の世界から「点」を生やす

位相を「開集合の体系」として先に置くと、点はこう作れます：

• 「どの開集合たちを“その点が属していることにするか”」
  という 整合的な選び方が“点”になる

イメージとしては、

• 空間＝開集合のネットワーク
• 点＝そのネットワークの中で矛盾なく「ここに居る」と言える立場

点は“前提”じゃなくて“派生物”です。

2-2) 集合論っぽい世界を構築する：トポス／層の方向

さらに進むと、

• 「集合」を直接置かずに
• 「局所データを貼り合わせる規則（層）」を基本にして

そこから 集合に似た振る舞いをする宇宙（トポス）を作れます。

この宇宙では、

• 論理（真偽のルール）すら変わり得る
  → 古典論理じゃない集合論っぽいものも出てくる

つまり

集合論は“唯一の基礎”ではなく、
位相的な基礎の上に現れる 選択肢のひとつになる。

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3. 位相を出発点にして「集合論を作らない」道（しない派）

ここも重要です。
“回収できる”ことと、“回収する必要がある”ことは別。

3-1) 点なし位相（point-free topology / locale）

位相の本体は点ではなく 開集合の論理だ、という立場。

• 空間＝開集合の束（順序＋演算）
• 点は必須ではない（存在しない空間すら扱う）

これは「脱要素」の完成形に近いです。

3-2) 実際、数学の多くは「点の名簿」を欲しがってない

解析や幾何で本当に必要なのは、

• 極限がうまく定義できる
• 連続性が扱える
• 局所から大域が組み上がる
• コンパクト性などの制御が効く

であって、点のID管理はしばしば“実装詳細”です。

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4. まとめ：あなたの言い方に寄せて1段で言うなら

• 集合論は「要素原理主義」になりがちで、形の本質を掴むには重いことがある。
• 位相は「近さ・連続・貼り合わせ」の言語で、要素に遡らずに形を語れる。
• その上で、
• 必要なら集合（点）や集合論的宇宙を「回収」できるし、
• 必要なければ回収しないまま（点なし位相などで）前に進める。

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ちょい挑発的な比喩（でもだいたい合ってる）

集合論が「世界はピクセルの集合だ」と言うのに対して、
位相は「世界は“領域の重なり方”だ」と言う。

ピクセルから雲を作ることもできるし、
雲の重なり方からピクセルっぽいものを定義することもできる。☁️📌

数学はどっちにも行ける。
ただし、どっちが気持ちいいかは脳の趣味です。