A Simple Guide to the Difference Between Algebra and Analysis

A Simple Guide to the Difference Between Algebra and Analysis Algebra and Analysis are Similar, but Different It might not always be necessary to separate the fields of mathematics, but doing so can sometimes be useful. Through junior high school, the curriculum is standardized as part of compulsory education. Then, in high school, students are split into different tracks. For science-track students, subjects like Mathematics 1, 2, 3, A, B, and C are required, while liberal-arts-track students might study a subset of these or choose based on their university entrance exam needs. Is that how it was? Looking back now, I'd like to know the reason for dividing the subjects in such a way. Upon entering university, it becomes clearer. For science majors, Calculus and Linear Algebra are almost always required courses. In my time, statistics was an elective. It's interesting that the term "Calculus" (微分積分学) is used instead of "Analysis" (解析学). Similarly, it's "Linear Algebra" (線形代数学) and not "Algebra" (代数学) itself, which is also curious. Both Calculus and Linear Algebra are, in fact, subfields of Analysis and Algebra, respectively. Approaching from an elementary level, one might divide mathematics into geometry, algebra, and analysis, and perhaps also (with some reservations) probability, number theory (does this include arithmetic?), and foundations of mathematics. While there are many ways to classify them, I will try to explain the difference between algebra and analysis. The Difference Between Algebra and Analysis I will summarize the difference between algebra and analysis in roughly three points. ① Algebra does not deal with infinity; Analysis does. ② Algebra deals with addition, subtraction, multiplication, and division (and roots); Analysis handles a wider variety of operations. ③ It is Analysis, not Algebra, that deals with "functions" (in algebra, other terms like "mapping" or "correspondence" are used). At the introductory, fundamental, or elementary stages, I believe it's fair to classify them based on these perspectives. Looking at the terms "algebra" and "analysis" through these three lenses may provide a clear and intuitive clue as to why algebra is called "algebra" (代数学) and analysis is called "analysis" (解析学). What is "Algebra"? Starting in junior high school mathematics, the image of algebra might be that it's about using symbols like x and y to handle "variables." I believe calculus was not taught in junior high. The main subjects were likely geometry and algebra, and perhaps algebraic geometry which combines them. Students solve equations, and some functions are introduced. These variables x, y, and z are unknown numbers until an equation is solved, so perhaps the Japanese term "代数" (daisū), which means "substitute number," is used because they act as stand-ins for numbers. This is likely a translated term from the late Edo or Meiji period. In English, it's "algebra," a word of Arabic origin. In ancient Greece, Diophantus worked on algebra, but its existence was largely ignored during Europe's Dark Ages. It's common knowledge that the legacy of ancient Greece was preserved by the Islamic world, with only a fraction remaining in Europe. As you delve deeper into algebra, the term "algebra" takes on another meaning. In set theory, when you give elements of a set specific properties or attributes, they become the numbers we know. But if you give them different properties, they become different things. In some cases, you can consider these other things as a more generalized form of number called an "algebra." The numbers we know—natural, integer, rational, real, irrational, imaginary, and complex—are just a part of this more general concept of "algebra." In this sense, "algebra" could almost be rephrased as "the elements of a set." Abstract mathematics develops in this direction. Addition, Subtraction, Multiplication, Division, and Polynomials We learn various functions like sine, cosine, tangent, as well as exponential and logarithmic functions. These are called transcendental functions. At the introductory, basic, or elementary level, these do not appear in algebra. Such functions appear in analysis. Algebra fundamentally deals with addition, subtraction, multiplication, and division. Therefore, the expressions it handles are polynomials. For a single variable, an expression that can be formed using real numbers and 'x' with addition, subtraction, multiplication, and division is either a polynomial or a rational expression. A rational expression looks like a division of polynomials, but let's set that aside for now. To put it plainly, at the risk of being misunderstood, the expressions algebra deals with are polynomials. They are not expressions mixed with sines, cosines, or exponential functions. Nor are they functions themselves. And the number of terms in a polynomial is finite; infinite terms are not handled. Incidentally, if you use infinite polynomials, you can actually express sine, cosine, tangent, as well as exponential and logarithmic functions. But, following rule ①—that algebra deals with the finite and not the infinite—it should clarify your thinking to consider that trigonometry and exponential functions are left to analysis and are generally not handled in algebra. What is Analysis? In junior high school, students learn algebra, geometry, and algebraic geometry. Some students might be moved by the power of mathematics just from this, as it allows them to solve many problems. At the same time, other students might feel a sense of constraint or limitation. For example, you cannot find the exact area or circumference of a circle. Archimedes found approximations, but not the exact values. The question of "what is an exact value?" requires some unpacking, but I will skip that here. In fact, using analysis, you can find the exact values. You just need to perform Archimedes' method an infinite number of times. His method was to approximate a circle using inscribed or circumscribed regular polygons. The idea is that as the number of corners (or sides) approaches infinity, the polygon becomes almost identical to the circle. However, Archimedes did not adopt this method of infinity. He was wary of it. The same goes for Newton, the discoverer of calculus. In his book Principia Mathematica, he explained his own classical mechanics and astronomy using the law of universal gravitation, but he deliberately avoided using calculus and wrote it in the style of Euclidean geometry. He, too, was likely cautious about infinity. However, subsequent physicists and mathematicians began to use infinity freely. As a result, the natural sciences became incredibly fruitful. The question of whether it was acceptable to use infinity so casually was resolved thanks to the foundational work of mathematicians like Cauchy and Weierstrass (Husserl's teacher and the so-called "king of analysis"), who made it possible to handle infinity formally and axiomatically. This was just before the era of modern mathematics, so their approach might not have been as thorough as Hilbert's, but I think one can imagine the practical handling of it through tools like the epsilon-delta argument that we use today. The Battle Between Cantor, Algebra, and Analysis However, infinity is not straightforward. A mathematician named Cantor discovered that using infinity leads to various unnatural and counter-intuitive phenomena. For example, Cantor found that while the number of rational numbers and irrational numbers are both infinite, the infinity of irrational numbers is "larger" than the infinity of rational numbers. Because of such strange results, the algebraist of the time, Kronecker (who was also a teacher of Husserl), criticized Cantor. Kronecker was a great algebraist who, while retaining some realist aspects due to the era he lived in, axiomatized algebra. The Kronecker delta is famous (though it is taught in analysis, not algebra), and he is known for the quote, "God made the integers, all else is the work of man." Perhaps due to the influence of Hilbert and Bourbaki, we tend to think of axiomatism, formalism, and the use of undefined terms and concepts as a set, but these are independent ideas. Axiomatism, formalism, and structuralism can coexist with or without the use of undefined terms, and they are all separate concepts. If Kronecker axiomatized algebra, he likely did so while still acknowledging the real existence of natural numbers or integers. The latter half of Kronecker's quote expresses constructivism. Kronecker is saying that if you have natural numbers or integers, humans can construct all other numbers. (In reality, humans can construct natural numbers and integers as well, but Kronecker was a transitional figure, so this can't be helped.) This intuitionist and constructivist stance is something algebraists may be prone to, and it has deep roots. Here, it might be seen as a confrontation between algebra and analysis regarding infinity. It is the philosophy of dealing only with things that humans can intuit and construct. The opposing stance is that if something is logically sound, it is acceptable to deal with it, even if it cannot be constructed by humans. This means that if it's logically consistent, it's fine to handle infinity. A similar conflict arose a little later. Today, they are not in conflict, but both streams can coexist within a single field or area, or a field might choose one over the other. The Cantor-Kronecker conflict was less of a conflict and more like one-sided bullying, but it is known in the history of mathematics as a precursor to the conflict between the Hilbert school's project (led by Hilbert, the father of modern mathematics and originator of axiomatism, formalism, and the use of undefined terms) and the opposing intuitionist and constructivist Brouwer. Does the Name Fit the Subject? Any discipline can be used in various ways, but as the proverb "the name reflects the reality" suggests, algebra has an aspect of a foundational journey concerning numbers—what is a "number" or an "algebra," and what relationships do they have? On the other hand, analysis, perhaps because it grew hand-in-hand with physics, seems to have a strong practical and applied aspect, serving as a tool for analysis within mathematics, physics, and other sciences. A function feels like a computer or a measuring device—easy to understand, with one output for every input. I wrote that analysis can derive the correct values for a circle's circumference and area, which algebra cannot. However, there is an issue with this "correct value." The circumference is 2πr and the area is πr 2 , but this leads to the question, "What is π?" In algebra, this is a number that cannot be derived through algebraic operations. This means it is not a solution to an algebraic equation. On the other hand, in analysis, one can feel like they understand π, but if asked to "write down the actual specific number," you cannot; you would have to continue writing forever with the help of a supercomputer. I don't know if this should be called possible or impossible, but it means that "if you are asked to calculate it to a certain point, you can, but it will only ever be an approximation." The epsilon-delta argument was created to settle things by deciding that "this kind of thing is acceptable." The term "transcendental number" is also interesting. Science aims for omnipotence, but transcendence, like that of gods or buddhas which is beyond human reach, is not what science desires. There might be an underlying feeling in science that "one must not transcend." If so, the person who used the word "transcendental" may have intended it ironically. A transcendental number is a real number like π or e that is not a solution to any algebraic equation. It is also a number related to infinity, as even in analysis, if you were asked to write it down, you would have to calculate and write forever. Trigonometric, exponential, and logarithmic functions are called transcendental functions, and these are also defined by infinite polynomials. From a standpoint skeptical of infinity, the casual use of it might seem improper. Conclusion I have attempted to summarize the rough difference between algebra and analysis. In more advanced domains, it becomes difficult to explain things in such a simple, clear-cut manner. In fact, one discovers surprising and moving relationships between different fields. However, I thought that first "knowing the differences" between these "different academic fields" might be useful in getting people interested in mathematics. The way mathematics is divided in elementary, junior high, and high school, using numbers and letters, can be confusing. University-level general mathematics often only touches on math as an applied and practical tool. While that may be fine in its own right, I felt it might not stimulate intellectual curiosity and the spirit of inquiry. Therefore, I tried to devise a way to understand the two fields from various angles, yet with the clarity of the three points ①, ②, and ③. I hope this can serve as a catalyst for someone to become interested in mathematics.

かんたんな代数学と解析学の違い

かんたんな代数学と解析学の違い ・代数学と解析学は似ているが違う 　数学の分野をわざわざ分ける必要もないのかもしれませんが分けてみると便利なこともあります。 　中学までは義務教育で共通、高校の途中から分離が分かれて数学１，２，３、A、B、Cが理系は必修、文系はその一部をやったり受験に応じて選択みたいな感じだったでしょうか？ 　今思うと何でそういうわけかたをするのか理由が知りたいところではあります。 　大学に入るとはっきりと理系なら大抵微分積分学と線形代数学が必修になります。 　統計学は私の時は選択でした。 　微分積分学という言葉を使って解析学でないのは興味深いところです。 　同じように線形代数学であって代数学自体出ないのも興味深いです。 　微分積分学にせよ線形代数学にせよ解析学と代数学の一分野です。 　初等的なところからアプローチすると数学は幾何学、代数学、解析学、かっこつきで躁経学や数論（算術を含むか？）、数学基礎論などに分かれるかもしれません。 　いろんな分類の仕方があるでしょうが代数学と解析学の違いについて説明を試みます。 ・代数学と解析学の違い 　代数学と解析学の違いをざっくり３点でまとめます。 　 ① 代数学は無限を扱わず、解析学は無限を扱う。 ② 代数学は加減乗除（とべき根）を扱い解析学はもっといろいろな演算を扱う ③ 「関数」を扱うのは解析学であって代数学ではない 　入門、基礎、初級、初等と言われる段階ではこの２つの見方で分類していいのではない意のではないでしょうか。 　この３つの見方で代数学と解析学という言葉をみるとなぜ代数学は「代数」学というのか、また解析学は「解析」学というのか、をすっきりあるいは直観的に理解できる糸口になると思います。 ・「代数」とは何か 　中学数学からはx、yとかの記号を使って「変数」というのを扱うのが代数学のイメージかもしれません。 　中学数学では確か微分積分は習わなかったと思います。 　中学数学のメインは幾何学と代数学、およびそれらを組み合わせた代数幾何学ではないでしょうか？ 　方程式を解いたり一部関数が出てくると思います。 　このx、ｙ、ｚが変数で方程式を解くまでは不明の数だから代わりの数として使われるので「代数」という言葉を使われるのかもしれません。 　多分幕末か明治の翻訳語でしょう。 　英語ではアルゼブラになります。 　これはアラビア語起源の言葉になります。 　代数学は古代ギリシアではディオファントスの台数がありましたがヨーロッパの闇黒の中世ではその存在は無視していいでしょう。 　古代ギリシアの継承はイスラムによってなされて、一部ヨーロッパに残ったものがあるくらいが常識的な見方でしょう。 　代数学をもうちょっと進めていくと代数にはもっと別の意味を与えられます。 　集合論で集合の要素にある特定の性質や属性を付与すると我々の知っている数になりますが別の性質を与えると別の物になります。 　場合によってはその別なものを「代数」という数をより一般化した数とみなしてしまってもよいという考え方です。 　我々が知っている数、自然数や整数や有理数や実数や無理数や虚数や複素数は代数というより一般的な数の一部であって代数というのは≒「集合の要素」と言い換えることができるかもしれません。 　抽象数学はそのような方向に発展していきます。 ・加減乗除と多項式 　サイン、コサイン、タンジェントや指数関数、対数関数など我々はいろいろな関数を習います。 　それらは超越関数と言います。 　そしてこれらは入門、基礎、初等的な代数学では出てこないはずです。 　そういった関数は解析学で出てきます。 　代数学で扱うのは基本的に加減乗除です。 　ですから扱う式は多項式になります。 　変数が一個の場合、実数とエックスで加減乗除を使って表せる式は多項式か有理式になります。 　有理式は多項式の割り算のように見える式ですがこれはここではおいて代数学が扱う式は誤解を恐れずにはっきり言えば多項式になります。 　サインやコサインや指数関数が混じった式ではありません。 　また関数でもありません。 　そして多項式の項の数は有限で無限のものは扱いません。 　ちなみに無限の多項式をつかうと実はサイン、コサイン、タンジェントも指数関数も対数関数も無限の多項式の形で表すことができます。 　でも代数学では無限は扱わず有限までという①のルールから三角関数も指数関数も解析学に任せて代数学ではまず扱わないと考えてもらうと思考がすっきりするはずです。 ・解析学とは？ 　中学の頃に代数学、幾何学、代数幾何学を習うでしょう。 　これだけでも数学のすごさに感動する中学生もいるかもしれません。 　いろんな問題が解けます。 　と同時に不自由というか制限というか限界を感じた中学生もいるのではないでしょうか？ 　例えば円の面積も円周の長さも求めることはできません。 　アルキメデスも近似は求めましたが正確な値は求まっていません。 　そもそも「正確な値って何？」というのは少し整理が必要なのですがここでは渇愛します。 　実は解析学を使うと正確な値が求まります。 　アルキメデスの方法を無限回行えばいいのです。 　アルキメデスの方法は円に内接か外接する正多角形を円の近似として求める物でした。 　角（辺）の数の数が無限大になれば正多角形はほとんど円と同じになるという考え方です。 　ただアルキメデスはこの無限という方法を取りませんでした。 　無限を警戒したのです。 　微分積分の発見者のニュートンもそうです。 　かれは自然哲学の数学的原理という本で自身の作った古典力学や重力で天文学を説明しましたがあえて微分積分を使うのを避けてユークリッド幾何学の形式で書いています。 　やはり無限を警戒したのでしょう。 　ただその後の物理学者も数学者も無限を乱用し始めます。 　結果としてその後の自然科学は非常に実り多いものになりました。 　無限を安易に使っていいのかという問題もフッサールの師匠である解析学の帝王話いえるシュトラウスやコーシーなどの基礎付けのおかげで形式的、公理的に扱えるようになりました。 　現代数学の手前ですのでヒルベルトほど徹底はしてなかったと思いますが現在もεδ論法などで何となく実用的な扱い方は想像できるかなとは思います。 ・カントールと代数学と解析学の戦い 　ただ無限は一筋縄ではいかないところがあってカントールという数学者が無限を使うと不自然で非直感的な事象が様々出てきてしまうことを発見してしまいました。 　例えば有理数の数も無理数の数も無限ですが無理数の無限の方が有理数の無限より大きかったりすることをカントールは発見しました。 　そういう変な結果が出てきたので当時の代数学者でこれまたフッサールの師匠でもあるクロネッカーがカントール批判を行いました。 　クロネッカーは時代が時代なので実在論的な面を残しつつも代数学の公理化を行った大代数学者です。 　クロネッカーのデルタは有名ですし（代数学でなく解析学で習いますが）、「神は整数をつくりたもうた。他は人間の技である」という言葉で有名です。 　ヒルベルトやブルバキの影響からか公理主義や形式主義、公理主義は無定義語、無定義概念の無定義主義とセットのように思われがちですがそれらは独立事象です。 　別に無定義主義だろうが定義主義だろうが公理主義も形式主義も構造主義も成り立ちますし共存できますし、それらは独立の概念です。 　クロネッカーが代数学の公理化をしたのなら自然数なり整数の実在は認めたまま公理化を行ったのでしょう。 　クロネッカーのセリフの後半は構成主義を表します。 　クロネッカーは自然数なり整数なりがあれば他の数は人間が校正できると言っているのです。 　まあ実際には自然数も整数も人間が構成できるのですがクロネッカーは過渡期の人なので症がありません。 　この直観主義で構成主義的な態度は代数学者が持ちがちな部分かもしれませんし、何か深い根を持つ部分です。 　ここでは無限に関する代数学対解析学という形をとっているのかもしれません。 　人間が直観できて構成できるものだけを扱うという思想です。 　それに対する立場は人間が構成できなくても論理的に問題なければ扱ってよい、というものになります。 　論理的に問題なければ無限を扱ってもいいという事です。 　似たような対立がちょっと後に起こっています。 　そして現在は対立してませんが両方の流れが一つの分野や領域で共存していることもありますし領域や分野ごとにどちらか一方だけを選択することもあります。 　カントール対クロネッカーの対立は対立というより一方的ないじめみたいになってしまいましたが、そのあとの公理主義や形式主義や無定義主義の開祖で近代数学の父ヒルベルト学派のヒルベルトプロジェクトとそれに批判的な直観主義で構成主義のブラウアーの対立として数学史では知られています。 ・名は体を表すか 　どの学問もいろんな風につかえますが、名は体を表すというか代数学や「数」「代数」という数とは何か、どういう関係性を持つのかという数をめぐる基礎論的な旅のようなところがあります。 　他方で解析学は物理学と手を取り合って育ってきたせいか、数学、物理学を含めた学問の解析のための道具、みたいなところがあり実利的、応用的な側面が強いように見えます。 　関数（function、functor）みたいなものは分かりやすくてインプットすればアウトプットが一つ出るようなコンピュータというか測定装置に見たいなところがあります。 　 　代数学でなら扱えない円の円周や面積も解析学なら正しい値を導き出せると書きましたが、その「正しい値」にも問題があります。 　円周長なら2πr、円面積ならπr²となりますがそもそも「πとは何か」という問題になります。 　代数学ではこれは代数学的な操作で導くことができない数です。 　代数学的数とは代数方程式の解にはならないという意味です。 　一方解析学ではπは分かったつもりになることはできますが「じゃあ実際に具体的な数を書いてみて」と言われると書けないというかスーパーコンピューターの助けを借りつつ永遠に書き続けることになります。 　これを可能というのか不可能というのかわかりませんが「ここまで求めろと言われたら求められるがそれは近似でしかない」という事になります。 　「そういうのもありだよ」という事を決めて決着をつけるためにεδ論法のようなものを作ったわけです。 　超越数というのも面白い言葉です。 　科学は科学で万能を目指していますが、人間の手の届かない神や仏のような超越は科学の望むところではありません。 　科学の目指すべきものとして「超越してしまってはあかん」みたいな気持ちがどこかにあるかもしれません。 　とすると「超越」という言葉を使った人は皮肉を込めていたのかもしれません。 　超越数というのはπやeのような代数方程式の解にならない実数です。 　また解析学でも具体的な数字を描けと言われたら永久に計算しつつ書き続けなければいけない数で無限と関係があります。 　三角関数や指数・対数関数は超越関数と言われますがこれも無限の多項式で定義された関数です。 　無限に懐疑的な立場から言えば安易に無限を使うのは不順と見えるかもしれません。 　 　 ・おわりに 　ざっくりした代数学と解析学の違いをまとめてみました。 　高度な領域になるとこう簡単にざっくり竹を割ったように説明できなくなるというか、むしろ違う分野が関係性を持っているのが分かったりして不思議や感動が出てきたりしますが、まずは「違う学問分野」の「違いを知る」のが何か数学に興味を持ってもらうのに役に立つかなと思ってまとめてみました。 　小中学校もそうですし、高校数学も分け方が数字とかアルファベットで学習領域を分けていて分かりにくいし、大学の教養数学も応用や実利的な道具の数学しか触れられないのはそれはそれでいいのかもしれませんが知的刺激や探求心が刺激されないかなと思い、いろんな角度から両者を眺めつつ、でも①②③の３つの違いという完結明瞭さをもって理解できるように工夫してみました。 　何か数学に興味を持つきっかけになってくれれば幸いです。